Aritmética

Vía Abstruse Goose.

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Ondas viajeras

Consideremos una función unidimensional f(x) cualquiera y definamos g(x,t) como,

\displaystyle g_{\pm}(x,t) = f(x\pm vt)

Esta función es lo que se conoce como onda viajera, esto es, un perfil-molde que se traslada a lo largo del eje x, bien hacia la derecha o bien hacia la izquierda, dependiendo del signo en el argumento.

La v que aparece multiplicando a t en el argumento de la función f es la velocidad de la onda g.

En la imagen vemos la función g(x,t) = f(x-t) en los instantes t=-3,0\text{ y }3, donde el molde usado es la función

\displaystyle f(x) = \exp{\left(-\dfrac{1}{1-x^2}\right)}\sin (10 x)  para  |x|\leq 1

donde \displaystyle \exp z = e^z. En este caso la velocidad de la onda g(x,t) es v=1.

Entre todos los perfiles posibles quizás el favorito sea el de seno o coseno, es decir,

\displaystyle f(x) = A \sin(2\pi k x)  o bien  \displaystyle f(x) = A \cos(2\pi k x)

donde k es el número de ondas, invero de \lambdala longitud de onda, y A es la amplitud.

Funciones \sin(4x) y \cos(4x).

Centrémonos en la función seno. La onda que generan este tipo de funciones son de la forma,

\displaystyle g(x,t)_{\pm} = A\sin 2\pi(k x \pm \omega t)

donde \omega = \mp vk.

Para hacernos una idea de lo que hablamos veamos dos ondas en acción, en particular, las siguientes,

\displaystyle g_1(x,t) = \sin(5x-5t)  y  \displaystyle g_2(x,t) = \sin(6x-10t)

La onda roja se corresponde con g_1 y la onda azul con g_2. Vemos lo que esperábamos

Dos senos, uno más oscilante que el otro, moviéndose hacia la derecha con velocidad constante, pero distinta en cada onda.

Ahora yo me pregunto…

Y si las sumamos, ¿que obtendremos?

Parece claro que la amplitud de la onda no será constante, pero la parte principal, la parte del seno, ¿será similar? No sé, algo de la forma,

\displaystyle g(x,t) = g_1(x,t)+g_2(x,t) = A(x,t) \sin 2\pi (kx - \omega t)

Pues , se tiene algo de esa forma. Para comprobarlo hagamos un par de cuentas.

Empezamos haciendo la siguiente suposición,

\displaystyle k = \frac{k_1+k_2}{2}  y  \displaystyle \omega = \frac{\omega_1+\omega_2}{2}

donde k es el número de ondas de la suma de los dos senos, y k_1 y k_2 son el número de ondas de cada uno de los senos. De manera similar para \omega, \omega_1\text{ y }\omega_2.

La suposición no parece muy descabellada, de hecho tiene una buena base, que es la siguiente siguiente igualdad,

\displaystyle \sin ax+\sin bx=2\cos\left(\frac{(a-b)x}{2}\right)\sin\left(\frac{(a+b)x}{2}\right)

Básicamente esto nos dice que al sumar dos senos obtenemos un seno, con frecuencia la media de los originales, modulado por un coseno.

Usando la igualdad anterior y las relaciones anteriores obtenemos,

\displaystyle g_1(x,t)+g_2(x,t)=2\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{5t}{2}\right)\sin\left(\frac{11x}{2}-\frac{15t}{2}\right)

A continuación vemos la onda en movimiento (la curva en naranja),

Observando el movimiento de la onda vemos algo así como paquetes de ondas. Estos son los que aparecen en la imagen,

Estos paquetes delimitan la región donde se mueve la onda,

\displaystyle -\left|2\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{5t}{2}\right)\right| \leq g(x,t) \leq \left|2\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{5t}{2}\right)\right|

Además, vemos algo más: la velocidad a la que se mueven los paquetes es mayor que la velocidad de las ondas que se mueven en su interior, como puede verse más claramente en el siguiente vídeo,

Los puntos rojo y azul en el vídeo se mueven a la velocidad que se mueven las ondas, esto es,

\displaystyle v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{15/2}{11/2} \approx 1.36

Esta es, digamos, la velocidad que lleva la parte seno de la onda. Es la llamada velocidad de fase.

Por otro lado, el punto verde se mueve con el paquete de ondas. La velocidad que tiene es la velocidad a la que se mueve la parte coseno,

\displaystyle v_g = \frac{\Delta \omega}{\Delta k} = \frac{\omega_1-\omega_2}{k_1-k_2} = \frac{5/2}{1/2} = 5

Esta se conoce como velocidad de grupo.

En algunos casos, ambas velocidades serán iguales, pero en mucho otros serán distintas. En estos, las ondas tienen asociado el adjetivo dispersivas.

Referencias básicas acerca de este tema, y mucho más, podéis encontrarlas en el libro Vibrations and Wavesde A. P. French.

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Resonancia en Tacoma

Todos hemos empujado un columpio alguna vez, intentando dar el impulso en el sentido del movimiento, para que la persona que estuviera montado en él subiera cada vez más y más alto. Esto es la resonancia.

Claro está que si repetíamos el empujoncito muchas veces…los resultados podían ser catastróficos.

¿Y si los impulsos los recibe un puente?

Entonces tenemos el conocido derrumbe del puente de Tacoma Narrows, el 7 de Noviembre de 1940. Claro, lógico: viento por aquí, viento por allá…

Visto en architecturalecologies.

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Una fórmula para Pi

La siguiente fórmula descubierta, alrededor de 1910, por el prodigio matemático Srinivasa Ramanujan,

\displaystyle \frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4 396^{4n}}

tiene una convergencia inhumana:

Cada término de la serie aporta 8 decimales significativos

En particular, usando sólo los dos primeros términos de la serie se obtiene,

\displaystyle \left|\frac{1}{\pi} - \frac{1130173253125}{2510613731736\sqrt{2}}\right| \approx 1.1\cdot 10^{-16}

Creo, pero sólo es mi opinión, que no está mal.

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Modos normales


Visto en Creative Applications Network.

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Fantasmas e integrales o cómo derivar integrando

Desde pequeñitos nos dicen que hay cosas que se pueden derivar y cosas que no. El ejemplo típico de función no derivable es la función valor absoluto |x|.

El problema de esta función es el punto x=0. Punto en el que la función no tiene un valor definido para su derivada: si nos acercamos por la izquierda tenemos una pendiente de -1, en cambio por la derecha la pendiente es 1. Se produce un cambio instantáneo.

Aún con ese problema¿no vale como derivada la función..?

\displaystyle H(x)=\begin{cases}-1,\quad x<0\\\,\,\,\,1,\quad x>0\end{cases}

Sí, pero en otro sentido.  Ese sentido lo da la integración por partes.

Supongamos que no intuímos la forma que puede tener la derivada de |x| y tomemos una función hiper-ultra-mega suave \varphi(x), es decir, infinitamente derivable y de soporte compacto.

Una función hiper-ultra-mega suave

Con soporte compacto nos referimos a que la función es cero fuera del algún intervalo.

A la supuesta derivada, que llamaremos también H(x), la multiplicamos por \varphi(x) e integramos en todo el espacio. Integrando por partes obtenemos,

\displaystyle \int_\mathbb{R} H(x)\varphi(x)\,dx=-\int_\mathbb{R} |x|\varphi'(x)\,dx=\int_{-\infty}^0 x\varphi'(x)\,dx-\int_0^\infty x\varphi'(x)\,dx

En la primera igualdad hemos usado el soporte compacto de \varphi(x). De nuevo, integrando por partes las dos integrales que aparecen al final obtenemos,

\displaystyle \int_\mathbb{R} H(x)\varphi(x)\,dx=-\int_{-\infty}^0 \varphi(x)\,dx+\int_0^\infty \varphi(x)\,dx

De aquí deducimos la expresión de H(x) que habíamos pensado al principio.

Además es independiente de la función \varphi(x). Es decir, la igualdad anterior es válida para toda función hiper-ultra-mega suave. Ésta es la llamada derivada débil.

Puede decirse que la principal diferencia entre la derivada clásica y débil es que la primera ha de ser, valga la redundancia, clásicamente diferenciable mientras que la segunda sólo tiene que ser integrable, es decir, pertenecer a la clase de funciones L^1, esto es,

\displaystyle \int |f(x)|\,dx < \infty

Por esto último, la derivada débil no está definida de manera única. Bueno, lo está, salvo en un conjunto de medida nula. Es decir, hay infinitas derivadas débiles de una función, pero el conjunto en el que son distintas es muy pequeño.

¿Y lo de fastasmas…?

Esto no es mío. Es el término que uso mi profesor de EDP’s cuando nos explico las distribuciones, y en particular, el concepto de derivada débil.

[…] es como un fastasma. Ves como mueve la cortinas de tu habitación, escuchas sus susurros, lo notas bajo tu cama…Sabes perfectamente que es él, pero no lo ves […]

…sí, bueno…decía algo así…tal vez no con esas palabras…pero parecido…

…¿y la aplicación?

En pocas palabras: el método de Elementos Finitos, usado para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.

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Recursividad

Muy al hilo de la entrada anterior nos viene esta imagen de Fotomat,

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Codificando información: funciones generatrices (II)

En la entrada anterior vimos que multitud de sucesiones numéricas podían codificarse en funciones simples, gracias a la teoría de las series de Taylor.

Es corriente que estas sucesiones vengan dadas por una relación de recurrencia, es decir, que los términos a_k de la sucesión satisfagan ecuaciones de la forma,

\displaystyle a_{k+1} - a_{k-1} = a_{k+2} a_{k-2}

Una de las sucesiones más conocidas, dada por una relación de este tipo, es la sucesión de Fibonacci. Los elementos de esta sucesión cumplen la relación,

\displaystyle a_{k+2} = a_{k+1} + a_k

Esta ecuación no determina de manera única la sucesión: es necesario aportar una serie de valores iniciales para poner en marcha la sucesión. Dependiendo del orden de la recurrencia se necesitarán más o menos de estos valores.

Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci clásica se obtiene al elegir a_0=1 y a_1=1. Podemos comprobar que al usar estos valores en la ecuación anterior se obtiene,

\displaystyle a_2=a_1+a_0=2,\quad a_3=a_2+a_1=3,\quad a_4=a_3+a_2=5,\quad\ldots

Aunque pueden calcularse explícitamente los términos de la sucesión de Fibonacci, supondremos que únicamente podemos calcularlos a partir de la recurrencia, que es realmente lo que ocurre con la mayoría de las recurrencias.

La pregunta es,

¿podemos obtener la función generatriz que codifica una sucesión, a partir de la recurrencia que la define?

La respuesta en general no la sé. En la mayoría de los casos dependerá de nuestra habilidad manipulando series.

Pero en el caso de la sucesión de Fibonacci sale muy sencillo. Supongamos que la sucesión de Fibonacci está codificada en la función F(x),

\displaystyle F(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k=a_0+a_1 x+\sum_{k=2}^\infty a_k x^k = 1 + x + \sum_{k=2}^\infty a_k x^k

En la última igualdad hemos usando las condiciones iniciales para la serie de Fibonacci clásica. Para el sumatorio que aparece al final de la línea se tiene,

\displaystyle \sum_{k=2}^\infty a_k x^k=\sum_{k=2}^\infty (a_{k-1}+a_{k-2}) x^k=\sum_{k=2}^\infty a_{k-1} x^k+\sum_{k=2}^\infty a_{k-2} x^k

Para los dos últimos sumatorios se puede escribir,

 \displaystyle \sum_{k=2}^\infty a_{k-1} x^k+\sum_{k=2}^\infty a_{k-2} x^k=x(F(x)-1)+x^2 F(x)

En la igualdad anterior hemos usado que F(x)-a_0=\sum_{k=1}^\infty a_k x^k. Usando todo lo que hemos obtenido se tiene la siguiente igualdad,

\displaystyle F(x)=1+x+\left(x(F(x)-1)+x^2 F(x)\right)=1+xF(x)+x^2F(x)

o lo que es lo mismo,

\displaystyle F(x)=\frac{1}{1-x-x^2}

¡Toda la sucesión de Fibonacci empaquetadita en esa función! 

…ahora ya sí que sí, ¿no? Quiero decir…

…¿qué las funciones generatrices no dan más de sí? Bueno, ya veremos…

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Un problema de bolas y cajas

Hace unos día volví a visitar, tras largo tiempo sin hacerlo, la página Problem of the Week, alojada en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Purdue.

En esta página se proponen semanalmente desafíos matemáticos de todo tipo: Análisis, Geometría, Álgebra, Ecuaciones Diferenciales,… Además, una vez propuesto el problema, se establece un período de quince días en el cual pueden aportarse soluciones al mismo.

Una vez concluye este perído se publica la solución más elegante, de las aportadas por los usuarios.

Es como hacer un sudoku…pero más friki.

Sí, la verdad es que sí.

El caso, es que el problema que se ha propuesto para estos días me ha gustado mucho, así que lo comparto con vosotros.

Tenemos una urna con cuatro bolas numeradas: 1, 2, 3 y 4. Vamos a jugar al siguiente juego: metemos la mano en la urna, cogemos una de las bolas aleatoriamente, apuntamos su número, y la volvemos a dejar dentro. Tras esto, volvemos a realizar los mismos movimientos. 

El juego termina cuando el número que obtenemos es menor que el anterior apuntado. Ganamos si el último número en salir es 1.

¿Cuál es la probabilidad de ganar?

Por poner un ejemplo: perderíamos en una partida de este estilo,

1, 1, 1, 2, 3, 3, 2

y ganaríamos en esta otra,

2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 1

El problema oficial podéis encontrarlo aquí.

¡Ánimo con él!

 

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