Primer elemento

Esta primera entrada inaugura este pequeño blog llamado Morvalets, un sitio que usaré como diario matemático: cosas que lea o me ronden la cabeza, aquí irán a parar… Esta primera entrada la voy a dedicar a la integración por partes. Herramienta del análisis que puede resumirse con la siguiente frase

Un día vi una vaca vestida de uniforme.

También con la expresión

\displaystyle\int fg' = fg - \int f'g

El uso inmediato de esta expresión es conocido por cualquier estudiante de Bachillerato: integrar funciones extremedamente complicadas, como podría ser f(x) = \log x, o bien f(x) = e^x \sin x.

En esta entrada nosotros pretendemos hacer lo mismo, para un caso muy particular de integrales: las sumas. Y es que, de la misma manera que tenemos una fórmula de integración por partes, tenemos una fórmula de sumación por partes, la cual puede escribirse de la siguiente manera

\displaystyle \sum_{i=n}^m f_i (g_{i+1} - g_i) = (f_{m+1} g_{m+1} - f_n g_n) - \sum_{i=n}^m (f_{i+1} - f_i) g_{i+1}

donde \{f_i\}_{i=0}^\infty y \{g_i\}_{i=0}^\infty son dos sucesiones de números reales. Vamos a demostrar la potencia de esta fórmula con unos sencillos ejemplos. El primero de ellos consistirá en evaluar la simple suma

\displaystyle \sum_{i=1}^N i

Para ello, seguimos los siguientes pasos

  1. Encontrar f_i y g_i tal que f_i (g_{i+1} - g_i) = i. Una posible opción es elegir

    \displaystyle f_i=i y g_i = i

  2. Sustituyendo en la fórmula de sumación por partes obtenemos

    \displaystyle \sum_{i=1}^N i = (N+1)(N+1) - 1 - \sum_{i=1}^N (i+1)

  3. De este último paso se llega a

    \displaystyle \sum_{i=1}^N i = \frac{(N+1)(N+1) - 1 - N}{2} = \frac{(N+1)N}{2}

Animados por el éxito de la receta nos atrevemos con una suma un poco más difícil

\displaystyle \sum_{i=1}^N i^2

En este caso, tenemos que encontrar f_i y g_i tales que f_i (g_{i+1} - g_i) = i^2. En este caso podemos tomar

\displaystyle f_i = i^2 y \displaystyle g_i = i

Aplicando la fórmula obtenemos

\displaystyle \sum_{i=1}^N i^2 = (N+1)^3 - 1 - \sum_{i=1}^N (i+1)\left((i+1)^2-i^2\right)

Operando en esta expresión se llega a

\displaystyle 3\sum_{i=1}^N i^2 = (N+1)^3-1-3\sum_{i=1}^N i-\sum_{i=1}^N 1

Con esto, se tiene la fórmula que nos da la suma de los N primeros cuadrados

\displaystyle \sum_{i=1}^N i^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}

Por último, veamos una aplicación de la sumación por partes algo distinta de lo visto hasta el momento. Para ello consideremos la función

\displaystyle S_N(x) = \sum_{n=1}^N \frac{\sin (nx)}{n}

Cuando N \rightarrow\infty

 ¿es la serie, dada por S_N(x), convergente para todo x\in (0,2\pi)

La respuesta es y vamos a dar una demostración de este hecho, usando para ello la sumación por partes. Usando la notación anterior, buscamos f_n y g_n tales que f_n (g_{i+n} - g_n) = n^{-1}\sin(nx). Tomaremos f_n = n^{-1}, con lo que

g_{n+1} - g_n = \sin (nx)

La solución a esta recurrencia puede pensarse de la siguiente forma: dado que el lado derecho de la igualdad es una onda de frecuencia n podemos pensar que g_n ha de ser una onda general de frecencia n, esto es

\displaystyle g_n = \alpha \sin (nx) + \beta \cos (nx)

Ensayando una solución de esta forma, nuestra recurrencia se reduce a

\displaystyle \alpha\sin ((n+1)x) + \beta \cos ((n+1)x) - \alpha \sin (nx) - \beta\cos (nx) = \sin (nx)

Usando relaciones trigonométricas elementales tenemos que

\sin((n+1)x) = \sin (nx) \cos x + \sin x \cos (nx)

\cos((n+1)x) = \cos (nx) \cos x - \sin (nx) \sin x

Sustituyendo las relaciones en la igualdad anterior y agrupando en términos de \sin(nx) y \cos(nx) se deducen las relaciones

\alpha (\cos x - 1) - \beta\sin x= 1

\alpha \sin x + \beta(\cos x - 1) = 0

Resolviendo para \alpha y \beta se tiene

\displaystyle\alpha = -\frac{1}{2}\displaystyle\beta = -\frac{1}{2} \cot \left(\frac{x}{2} \right)

y como consecuencia directa

\displaystyle g_n = -\frac{1}{2}(\sin (nx) + \cot\left(\frac{x}{2}\right) \cos(nx)).

Con esto, ya podemos sumar por partes

\displaystyle S_N(x)=f_{N+1} g_{N+1}-f_1 g_1-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{\sin (nx)+\cot\left(\frac{x}{2}\right)\cos(nx)}{n(n+1)}

donde f_{n+1} - f_n = -(n(n+1))^{-1}.

Es claro que la convergencia de la serie original se sigue de la convergencia de la serie

\displaystyle \sum_{n=1}^{N}\frac{\sin (nx)+\cot\left(\frac{x}{2}\right)\cos(nx)}{n(n+1)}

la cual es convergente por el criterio de comparación aplicado a la serie telescópica. Dicho criterio afirma que si controlamos los sumandos de nuestro sumatorio por los sumandos de una serie convergente, entonces nuestra serie converge. En nuestro caso

\displaystyle \left|\frac{\sin (nx)+\cot\left(\frac{x}{2}\right)\cos(nx)}{n(n+1)}\right| \leq \frac{1 + |\cot\left(\frac{x}{2}\right)|}{n(n+1)}

Para terminar, daremos una estimación de S_N(x) y como consecuencia, de la serie límite. Por un lado, para los términos f_{N+1} g_{N+1} y f_1 g_1 se tiene

\displaystyle |f_{N+1} g_{N+1}|=\left|-\frac{\sin ((N+1)x) + \cot\left(\frac{x}{2}\right)\cos((N+1)x)}{2(N+1)}\right|\leq \frac{1 + |\cot\left(\frac{x}{2}\right)|}{2(N+1)}

\displaystyle f_1 g_1=\left|\frac{\sin (x) + \cot\left(\frac{x}{2}\right)\cos(x)}{2}\right|\leq \frac{1 + |\cot\left(\frac{x}{2}\right)|}{2}.

Por otro,

\displaystyle \left|\sum_{n=1}^{N}\frac{\sin (nx)+\cot\left(\frac{x}{2}\right)\cos(nx)}{n(n+1)}\right|\leq(1 + |\cot\left(\frac{x}{2}\right)|)\left(1-\frac{1}{N+1}\right)

Con esto, podemos dar la estimación

\displaystyle |S_N(x)|\leq\frac{1}{2}\left(1+|\cot\left(\frac{x}{2}\right)|\right)\left(\frac{1}{N+1} +1 +\left(1 - \frac{1}{N+1}\right)\right) = 1+\left|\cot\left(\frac{x}{2}\right)\right|

y haciendo N tender a infinito, tenemos la estimación para la serie límite S(x).

Como dato extra: esta serie se corresponde con la serie de Fourier de la función f(x)=\frac{\pi-x}{2}, es decir

\displaystyle \frac{\pi - x}{2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n}

para x\in (0,2\pi).

Con estos ejemplos, espero haberos convencido de la potencia de la sumación por partes.

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