Matrices y suma de ángulos

En una entrada anterior hablábamos sobre alguna que otra aplicación de las matrices al mundo real. 

Una de ellas era la rotación de vectores, en particular, vectores en el plano. Aplicando la matriz de rotación R(\theta) a un vector {\bf v}, éste gira \theta radianes en sentido antihorario respecto al origen de coordenadas.

La matriz R(\theta) venía dada por,

\displaystyle R(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}

Supongamos que tras aplicar R(\theta) aplicamos R(\varphi), ¿qué obtenemos? Lógicamente, si primero giro \theta radianes y luego \varphi debería haber girado \theta+\varphi. Es decir, deberíamos tener,

\displaystyle R(\varphi)R(\theta)=R(\theta+\varphi) = \begin{pmatrix}\cos(\theta+\varphi)&\sin(\theta+\varphi)\\-\sin(\theta+\varphi)&\cos(\theta+\varphi)\end{pmatrix}

¡Otra aplicación de las matrices!

Dearrollando el lado izquierdo de la igualdad anterior obtenemos,

\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\varphi\cos\theta-\sin\varphi\sin\theta&\cos\varphi\sin\theta+\sin\varphi\cos\theta\\-\cos\varphi\sin\theta-\sin\varphi\cos\theta&\cos\varphi\cos\theta-\sin\varphi\sin\theta\end{pmatrix}

Dado que una igualdad entre matrices significa una igualdad componente a componente, hemos obtenido las famosas fórmulas trigonométricas para el seno, y coseno, de la suma de dos ángulos,

\displaystyle \sin(\theta+\varphi) = \cos\varphi\sin\theta+\sin\varphi\cos\theta

\displaystyle \cos(\theta+\varphi) =\cos\varphi\cos\theta-\sin\varphi\sin\theta

Las matrices salen…donde menos te lo esperas.

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