Sobre Cantor, Hausdorff y la que armaron (I)

Hay objetos raros en matemáticas. Objetos verdaderamente complejos. Pese a su complejidad, muchos de ellos tienen una construcción realmente simple.

Uno de estos objetos es el conjunto de Cantor. Dicho conjunto se construye a partir del intervalo [0,1] y en fases.

La que podríamos denominar fase cero es el propio intervalo,

\displaystyle \mathcal{C}^0=[0,1]

En la fase uno nos comemos el tercio central del intervalo, quedando el conjunto,

\displaystyle \mathcal{C}^1=[0,1/3]\cup [2/3,1]

Iterando el proceso una vez más llegamos a la fase dos, en la que hemos eliminado el tercio central de los subintervalos anteriores,

 \displaystyle \mathcal{C}^2=[0,1/9] \cup[2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]

Comiendo y comiendo los tercios centrales de los subintervalos llegamos al conocido conjunto de Cantor \mathcal{C}, que puede escribirse como,

\displaystyle \mathcal{C}=\bigcap_{k=0}^\infty\mathcal{C}^k=\lim_{k\rightarrow\infty}\mathcal{C}^k

La última igualdad se tiene por la propiedad \mathcal{C}^k \supset \mathcal{C}^{k+1}.

Conjunto de Cantor \mathcal{C}^k para k=0,1,2,3.

Con este conjunto en la mano nos surgen al menos dos preguntas. Empezamos con la segunda.

¿Cuánto mide este conjunto? 

 Si nos fijamos con atención en la construcción de \mathcal{C}, vemos que en cada fase k sobreviven 2^k intervalos de longitud 3^{-k}. Por tanto la medida del conjunto de Cantor parece ser,

\displaystyle m\left(\mathcal{C}\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k=0

A priori, un conjunto pequeño.

¿A qué se parece este conjunto?

Con parecer nos referimos en el sentido de la numerabilidad. En particular, queremos saber si \mathcal{C} es numerable, en cuyo caso existiría una correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales \mathbb{N}, o por el contrario no numerable. El conjunto de los números reales \mathbb{R} es un caso de estos últimos.

Pues bien, el conjunto de Cantor \mathcal{C} es no numerable. Es decir, este conjunto tiene más números que números naturales hay, que enteros, que racionales, que pares naturales ordenados \mathbb{N}\times \mathbb{N}, …y que cualquier otro conjunto numerable imaginable (todos ellos equivalentes al de los naturales).

Podemos decir más.

Todo número real, y en particular todo número en el intervalo [0,1], puede representarse en otras bases, a parte de la decimal. Por ejemplo, en base 3.

En esta base, todo número x\in [0,1] puede expresarse mediante una sucesión de números a_i, dados por la expresión,

\displaystyle x=\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{3^k} = (0,a_1a_2a_3\ldots)_3   con   a_k=0,1,2.

Calcular estos a_k es sencillo: dividimos el intervalo [0,1] en tres. Si x cae en el primer segmento a_1=0, si cae en el segundo a_1=1 y si cae en el tercero a_1=2. Posteriormente volvemos a dividir cada segmento en tres y elegimos a_2 siguiendo el mismo criterio que antes para cada segmento…

Procediendo de esta manera hasta que nos cansemos obtenemos el número x en base 3.

Notamos que a_k=1 solo cuando x cae en algún tercio central, cosa que no ocurre en el conjunto de Cantor, porque siempre nos comemos el tercio central.

Este pequeño comentario demuestra que todo elemento x\in\mathcal{C} es de la forma,

\displaystyle x=(0,a_1a_2a_3\ldots)_3   con   a_k=0,2.

Esto puede traducirse como,

Los números del conjunto de Cantor son básicamente sucesiones de ceros y unos

Y también una sucesión cualquiera de ceros y unos es básicamente un número del conjunto de Cantor.

Pero entonces…si tengo cualquier número binario, ¡tengo cualquier número!

Exacto. Veamos los siguientes ejemplos para convencernos de ello.

Pongamos que tenemos en base 3 el número x=(0,02202)_3, el cual pertenece al conjunto de Cantor. Éste es básicamente el número binario y=(0,01101)_2. Ahora traducimos este número,

\displaystyle y=(0,01101)_2=\frac{0}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{0}{2^4}+\frac{1}{2^5}=0,40625

Ahora al revés. Supongamos que tenemos el número,

x=0.\overline{1304347826086956521739}

Este número en binario pasa a ser, y=(0.\overline{00100001011})_2, que se corresponde con el elemento del conjunto de Cantor,

(0.\overline{00200002022})_3

Para el carro…¿el conjunto de Cantor tiene al menos tantos números como hay en el intervalo unidad…y mide cero?

Si. Mide cero, con la regla que hemos usado para medir el conjunto.

Por último, una pequeña nota: la correspondencia entre la expresión en 0’s y 2’s y los números binarios no es uno a uno.

Pongamos que tengo el número del conjunto de Cantor (0,020\overline{2})_3. Sustituímos doses por unos y obtenemos (0,010\overline{1})_2=(0,011)_2. Si tomamos este número y vamos hacia atrás obtenemos (0,022)_3\neq (0,020\overline{2})_3.

Por tanto, esta aplicación que va del conjunto de Cantor \mathcal{C} en el intervalo [0,1] no es biyectiva, pero sí sobreyectiva.

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3 Responses to Sobre Cantor, Hausdorff y la que armaron (I)

  1. Sergio Hernández Montero dice:

    Una figura geométrica que sigue un principio parecido es la esponja de Menger:

    Que es un tipo de fractal tridimensional que cuando el numero de iteraciones tiende a infinito su área también tiende a infinito mientras su volumen tiende a cero.

  2. Pingback: Sobre Cantor, Hausdorff y la que armaron (II) « morvalets

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