Sobre Cantor, Hausdorff y la que armaron (II)

En la entrada anterior vimos que el conjunto de Cantor era grande y pequeño a la vez. La forma tradicional de medir conjuntos no parece suficientemente precisa.

Pero… ¿cuál es esa forma tradicional?

Pensemos por un momento en que queremos calcular el área de un mesa, con ciertas irregularidades, o lo que es lo mismo, no es cuadrada. Para fijar ideas, una mesa triangular.

¿Cómo calcularíamos su área, sin recurrir a la conocida fórmula?

Una forma: cubriéndola de mesitas cuadradas y calculando el área de las mismas. Cuanto más pequeños sean esos cuadrados mejor nos aproximaremos a las esquinas de la mesa triangular y, en definitiva, mejor aproximaremos al área real de la mesa.

Este proceso es básicamente el que se representa en la imagen siguiente.

Lo que vengo a decir se resume con la siguiente frase:

Los cuadrados son reglas para medir objetos de dos dimensiones…

…al igual que las reglas de toda la vida, o segmentos de recta, nos permiten medir objetos unidimensionales y los cubos nos permiten medir volúmenes tridimensionales.

…¿y pueden usarse cuadrados, por ejemplo, para medir segmentos de recta?

¡Por supuesto! Pero claro, un segmento de recta siempre puede meterse en un rectángulo de área arbitrariamente pequeña…por tanto, medido con esa regla, un intervalo tiene medida cero. Lo mismo ocurre si intentamos medir el área del triángulo anterior mediante la regla tridimensional, los cubos.

Y al contrario claro. Si intentamos medir el área de una mesa cubriéndola con intervalos llegaremos a que la medida de la mesa es infinita.

Como decíamos en la primera entrada: todo depende de la regla utilizada.

¿Y si no estamos midiendo con la regla adecuada el conjunto de Cantor?

Pero esto es absurdo. O bien tiene una dimensión, o tiene dos, o tres…o sencillamente no tiene y es un conjunto discreto de puntos.

…¿y por qué no una regla entre una y dos dimensiones?

Ésta fue la idea que tuvo Felix Hausdorff, matemático alemán cuyas mayores contribuciones se engloban dentro de la topología.

Su idea fue, en esencia, la siguiente: al igual que antes, recubrimos nuestro conjunto a medir F \subset \mathbb{R}^n con conjuntos U_k, cuadrados o no, de manera que todos ellos tengan un diámetro  que no exceda un número fijo \delta>0. Esto es,

\displaystyle F \subset \bigcup_{k=1}^\infty U_k  con  \displaystyle |U_k| = \sup\{|x-y|\,:\,x,y\in U_k\}\leq \delta

El diámetro del conjunto nos da una idea de lo grande que es el conjunto, a lo largo de cualquiera de las dimensiones.

De entre todos los recubrimientos que nos podamos imaginar, nos quedamos con aquel para el que el número,

\displaystyle \sum_{k=1}^\infty |U_k|^s

sea mínimo. Este número lo denotaremos por \mathcal{H}^s_\delta(F).

Hasta aquí nada muy raro, ¿no?

Si lo pensamos un momento, es lo que hacemos normalmente: aproximar la medida del conjunto por la medida de los cuadraditos, la cual es su longitud elevado a la dimensión que toque…

Pero a nosotros, en la suma anterior, nadie nos obliga a poner un exponente s entero, ¿verdad? Pues bien, la propuesta de Hausdorff va precisamente en esa dirección, proponiendo como definición de dimensión,

\displaystyle \text{dim}_H F = \inf\{s\,:\, \mathcal{H}^s (F)=0\}

donde \mathcal{H}^s (F), denominada medida de Hausdorff, se define por,

\displaystyle\mathcal{H}^s(F)=\lim_{\delta\rightarrow 0}\mathcal{H}^s_\delta(F)

…¿calculamos la dimensión del conjunto de Cantor?

¡Claro! En la entrada anterior vimos que para calcular la medida tradicional del conjunto de Cantor calculábamos su longitud en cada fase de su contrucción. Esto es, 2^n intervalos de longitud 3^{-n} en la fase n.

Veamos como varía \mathcal{H}^s(\mathcal{C}) con s,

\displaystyle \mathcal{H}^s(\mathcal{C}) = \lim_{k\rightarrow\infty} 2^k\left|\frac{1}{3^k}\right|^s = \begin{cases} \infty,\quad s< \log 2/\log 3\\ 1,\,\,\,\quad s=\log 2/\log 3\\ 0,\,\,\,\quad s> \log 2/\log 3\end{cases}

Sí, es lo que parece. La dimensión de Hausdorff del conjunto de Cantor es

\displaystyle \frac{\log 2}{\log 3} = 0,630929...

Podríamos decir entonces que el conjunto de Cantor, y similares, se mide con cubos de dimensión 0,630929. 

Puede que a muchos de vosotros os resulte un resultado tonto, poco impresionante o inútil. Bueno, pues para quitar ese mal sabor de boca al lector interesado y desengañado, unos cuantos datos:

La costa de Reino Unido tiene dimensión de Hausdorff,

1,25

Es decir, no es una curva y , ‘costa’ y ‘Reino Unido’ no son términos matemáticos. Todo depende de la regla con que midamos por supuesto: eso incluye recorrer la costa en coche y ver que recorremos unos 15000 kilómetros.

El objeto fractal que nos comentaba un amigo, Sergio Hernández, en la entrada anterior: la esponja de Menger. Ésta tiene dimensión,

\displaystyle \frac{\log 20}{\log 3}\approx  2,7268

Otro conocido por el público en general, el conjunto de Mandelbrot. Éste es especial, ya que su dimensión,

2

es compartida por su frontera. Podríamos poner el siguiente pésimo símil: pelas una naranja, te la comes y cuando vas a tirar los trozos de la piel que han sobrado, ¡te encuentras otra naranja!

En el vídeo vemos de manera cristalina una propiedad (mejor dicho: la propiedad) que caracteriza a los fractales, en particular del conjunto de Cantor: la autosimilaridad, lo que significa que a diferentes escalas el objeto presenta siempre el mismo patrón.

Terminamos donde empezamos: el cerebro humano. Su superficie tiene una dimensión de,

2,79

Cerebro humano

Para profundizar más en este tema, de infinitas ramificaciones, os recomiendo,

  1. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications de K. J. Falconer.
  2. The Fractal Geometry of Nature de Benoît B. Mandelbrot.

Clouds are not spheres, mountains are not cones, and lightening does not travel in a straight line…[Benoît B. Mandelbrot]

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