Codificando información: funciones generatrices (I)

Una de las flechas imprescindibles en el carcaj de un matemático, lista para atacar un problema, es sin duda la serie de Taylor, útil debido, oficialmente, al matemático inglés Brook Taylor. Recordamos que la serie de Taylor nos permite expresar una función regular f(x) como un polinomio, presumiblemente de infinitos términos, de coeficientes proporcionales a derivadas sucesivas de la función en un punto a. Es decir,

\displaystyle f(x) = f(a)+ f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots

Esto nos permite escribir funciones clásicas como el seno, el coseno o la exponencial en la forma,

\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

\displaystyle \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^8}{8!} + \cdots

\displaystyle e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

¡Con qué alegría pones puntos suspensivos…! 

Los puntos suspensivos indican lo que parece: una suma infinita,

\displaystyle e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}

Cuando las hay, nada bueno puede pasar. Afortunadamente, no es el caso de las funciones anteriores, ya que su desarrollo en serie converge al valor de f(x) para todo x\in\mathbb{R}

Pero en la mayoría de los casos, la convergencia de tales series se dará únicamente en un entorno del punto a sobre el que se desarrolla la función f(x).

Aún así estos desarrollos en serie son fantásticos, ya que nos dan aproximaciones arbitrariamente buenas de la función en cuestión y dependiendo del caso, con unos pocos términos de la serie.

Por ejemplo, para la función seno restringida al intervalo [-\pi,\pi] se tiene,

\displaystyle \left|\sin x - \left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}\right)\right| < 0.01

Cometemos un error de, a lo sumo, una centésima utilizando la aproximación de Taylor del seno en lugar del propio seno

De hecho, la aproximación es de orden 9.

Un seno en el intervalo [-\pi-\epsilon,\pi+\epsilon] y su serie de Taylor hasta orden 9.

Pues bien, aunque parezca mentira, esta entrada no está dedicada a la serie de Taylor. No estamos interesados en si la serie aproxima mejor o peor a la función. Lo que realmente nos interesa son los coeficientes del polinomio de Taylor.

En los desarrollos para el seno, el coseno y la exponencial se observa que los coeficientes forman las sucesiones numéricas,

\displaystyle \left\{0,1,0,-\frac{1}{3!},0,\frac{1}{5!},0,-\frac{1}{7!},\ldots\right\}

\displaystyle \left\{1,0,-\frac{1}{2!},0,\frac{1}{4!},0,-\frac{1}{6!},\ldots\right\}

 \displaystyle \left\{1,1,\frac{1}{2!},\frac{1}{3!},\frac{1}{4!},\frac{1}{5!},\frac{1}{6!},\frac{1}{7!},\ldots\right\}

respectivamente. Como hemos visto, la obtención de cualquiera de los términos de la sucesión se recupera a partir de estas funciones calculando,

\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!}

Podríamos decir entonces, que los polinomios de Taylor de una función codifican sucesiones de números. Pero, y lo contrario, ¿también es verdad? Quiero decir,

¿una sucesión de números cualquiera puede codificarse en una función?

Debemos distinguir dos casos: el caso finito y el caso infinito. En este caso, finito significa una sucesión de números la cual es cero a partir de cierto índice, es decir, la sucesión tiene un número finito de números distintos de cero.

Pongamos entonces que tenemos una sucesión de números finita, para fijar ideas, la siguiente,

\displaystyle \left\{1,2,3,4,0,-1\right\} \sim \left\{1,2,3,4,0,-1,0,0,0,\ldots\right\}

Esta sucesión de números puede codificarse en el siguiente polinomio,

\displaystyle f(x) = 1+2x+3x^2+4x^3-x^5

Como es de esperar, los coeficientes del polinomio de Taylor de una función que es un polinomio son los coeficientes del propio polinomio El caso finito no tiene más: codificamos la sucesión con un polinomio del grado que toque. El caso de una sucesión infinita tiene mas chicha. Al igual que antes, empezamos con un pequeño ejemplo: supongamos que queremos codificar en una función la sucesión,

\displaystyle \{1,1,1,1,1,\ldots\}

Esta función será,

\displaystyle f(x) = 1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots = \sum_{k=0}^\infty x^k

Pero claro, esta expresión no es cerrada. No tiene sentido codificar una sucesión infinita de números, con una función expresada como una serie infinita. Para eso, nos quedamos con la sucesión.

Vamos a intentar expresar f(x) de una manera más simple, más compacta. Primero escribimos,

\displaystyle f(x)=1+ \sum_{k=1}^\infty x^k

Escrito de la forma anterior, vemos que podemos sacar factor común x en el sumatorio infinito, obteniendo,

\displaystyle f(x) = 1+x\sum_{k=1}^\infty x^{k-1} = 1 + x\sum_{k=0}^\infty x^k

La serie que acompaña a la x en la última igualdad…

¡es la propia función!

Haciendo esta observación podemos escribir lo siguiente,

\displaystyle f(x) = 1 + x f(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) = \frac{1}{1-x}

Muchos conoceréis la última función. Exacto, es la conocida fórmula para la serie geométrica.

Se dice que 1/(1-x) es la función generatriz de la sucesión \{1\}_{k=0}^\infty.

Pero cuando la función es evaluada en, por ejemplo, x=2 se tiene…

Totalmente de acuerdo, se obtiene algo sin sentido,

\displaystyle \frac{1}{1-2} = -1 = 1+2+2^2 + 2^3 + 2^4 +\cdots = \infty

Esto se debe a que la convergencia de la serie de Taylor de la función al valor de la función solo se da para valores de x tales que |x|<1.

Aún así, como decíamos antes, solo estamos interesados en la obtención de una sucesión numérica a partir de una función, y para esto, no es necesaria la convergencia de la propia serie. Es decir, trabajamos con las igualdades en un sentido formal.

Veamos algún ejemplo más. Supongamos que queremos codificar la sucesión,

\displaystyle \left\{0,1,4,9,16,25,36,\ldots\right\}

Es decir, la sucesión de los cuadrados perfectos. La función que la genera será,

\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^\infty k^2 x^k = \sum_{k=1}^\infty k^2 x^k

Usamos un truco parecido al de antes. Sacamos factor común x y vemos que,

\displaystyle f(x)=x\sum_{k=1}^\infty k^2 x^{k-1}=x\sum_{k=1}^\infty k\cdot(k x^{k-1})

Esta claro. El cuerpo nos pide escribir,

\displaystyle k x^{k-1} = \frac{d (x^k)}{dx}

y después, por ejemplo, intercambiar el orden de la derivada y el sumatorio. En condiciones normales, habría que preocuparse por cuestiones de convergencia pero afortunadamente, operamos formalmente.

Por tanto f(x) puede expresarse como,

\displaystyle f(x)=x\sum_{k=1}^\infty k\frac{d (x^k)}{dx}=x\frac{d}{dx}\sum_{k=1}^\infty k x^k = x \frac{d}{dx}\left(x\frac{d}{dx}\sum_{k=1}^\infty x^k\right)

donde en la última igualdad hemos seguido el mismo proceso que en las líneas anteriores. Observamos que el último sumatorio, que aparece en la línea anterior, lo conocemos: es casi la función generatriz de la sucesión \{1\}_{k=0}^\infty,

\displaystyle \sum_{k=1}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}-1=\frac{x}{1-x}

Un pequeño inciso…

Mini-teorema (Desplazamiento hacia la derecha)

Si A(x) es la función generatriz de la sucesión \{a_k\}_{k=0}^\infty, entonces x A(x) es la función generatriz de la sucesión \{0,a_0,a_1,a_2,\ldots\}. Es más, x^n A(x) genera la sucesión \{0_1,0_2,\ldots,0_n,a_0,a_1,a_2,\ldots\}.

Metiendo x/(1-x) en la expresión de f(x), y derivando, obtenemos,

\displaystyle f(x)=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}=\frac{1}{1-x}-\frac{3}{(1-x)^2}+\frac{2}{(1-x)^3}

Esta función tiene a los cuadrados perfectos por coeficientes de Taylor. He expresado f(x) como suma de fracciones simples para hacer la siguiente observación: sabemos que,

\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x} \right)= \frac{1}{(1-x)^2},\quad \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{2}{(1-x)^3}

Un segundo inciso…

Mini-teorema (Derivada de una sucesión)

Si A(x) es la función generatriz de la sucesión \{a_k\}_{k=0}^\infty, entonces A'(x) es la función generatriz de la sucesión \{ka_k\}_{k=1}^\infty. Es más, A^{(n)}(x) genera la sucesión \{k(k-1)\cdots (k-(n-1))a_k\}_{k=n}^\infty.

Supongamos que no conocemos los coeficientes de Taylor de la función f(x) que acabamos de calcular. Ayudados del resultado recién enunciado vamos a calcularlos sabiendo únicamente que,

\displaystyle \frac{1}{1-x} \quad \longleftrightarrow \quad \{1\}_{k=0}^\infty

Por el teoremilla anterior sabemos que,

\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2} \quad \longleftrightarrow \quad \left\{k\right\}_{k=1}^\infty=\left\{(k+1)\right\}_{k=0}^\infty

\displaystyle \frac{2}{(1-x)^3} \quad \longleftrightarrow \quad \left\{k(k-1)\right\}_{k=2}^\infty=\left\{(k+2)(k+1)\right\}_{k=0}^\infty

Con esto y la descomposición en fracciones simples de f(x) es fácil deducir que la sucesión generada por la función es,

\displaystyle \frac{x(x+1)}{(1-x)^3}\quad \longleftrightarrow\quad\{1\}_{k=0}^\infty-3\left\{(k+1)\right\}_{k=0}^\infty+\left\{(k+2)(k+1)\right\}_{k=0}^\infty

Operando término a término con las sucesiones anteriores se obtiene,

\displaystyle\left\{1-3(k+1)+(k+2)(k+1)\right\}_{k=0}^\infty=\left\{k^2\right\}_{k=0}^\infty

que es lo que esperábamos. Como vemos, no ha sido necesario liarse a derivar la función para sacar su coeficientes de Taylor, lo cual habría sido una opción tan válida como ésta.

De hecho, con un poco más de esfuerzo puede sacarse la función generatriz de la sucesión,

\displaystyle \{P_n (k)\}_{k=0}^\infty con P_n (k) un polinomio de grado n

Muy bien…ve cortando ya el tema, que esto no da más de sí…

¡Qué no da más de sí! Os recomiendo a los que penséis así, y a los que no por supuesto, que no os perdáis la próxima entrega…y para ir abriendo boca os recomiendo echarle un vistacillo a la sucesión de Fibonacci.

Anuncios
Esta entrada fue publicada en Uncategorized y etiquetada , , , , , . Guarda el enlace permanente.

4 Responses to Codificando información: funciones generatrices (I)

  1. serjical dice:

    Oh Dios! Taylor vuelve a mi vida, yo que ya le habia olvidado…

    No es personal pero es que en mi carrera consiguen que le tengamos asco xD. Al menos tú lo has explicado de manera comprensible. Muy buen articulo, le estamos cogiendo el gusto a las entradas largas, ¿eh? 🙂

  2. Pingback: Calculadoras, senos y matrices « morvalets

  3. Pingback: Codificando información: funciones generatrices (II) « morvalets

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s