Fantasmas e integrales o cómo derivar integrando

Desde pequeñitos nos dicen que hay cosas que se pueden derivar y cosas que no. El ejemplo típico de función no derivable es la función valor absoluto |x|.

El problema de esta función es el punto x=0. Punto en el que la función no tiene un valor definido para su derivada: si nos acercamos por la izquierda tenemos una pendiente de -1, en cambio por la derecha la pendiente es 1. Se produce un cambio instantáneo.

Aún con ese problema¿no vale como derivada la función..?

\displaystyle H(x)=\begin{cases}-1,\quad x<0\\\,\,\,\,1,\quad x>0\end{cases}

Sí, pero en otro sentido.  Ese sentido lo da la integración por partes.

Supongamos que no intuímos la forma que puede tener la derivada de |x| y tomemos una función hiper-ultra-mega suave \varphi(x), es decir, infinitamente derivable y de soporte compacto.

Una función hiper-ultra-mega suave

Con soporte compacto nos referimos a que la función es cero fuera del algún intervalo.

A la supuesta derivada, que llamaremos también H(x), la multiplicamos por \varphi(x) e integramos en todo el espacio. Integrando por partes obtenemos,

\displaystyle \int_\mathbb{R} H(x)\varphi(x)\,dx=-\int_\mathbb{R} |x|\varphi'(x)\,dx=\int_{-\infty}^0 x\varphi'(x)\,dx-\int_0^\infty x\varphi'(x)\,dx

En la primera igualdad hemos usado el soporte compacto de \varphi(x). De nuevo, integrando por partes las dos integrales que aparecen al final obtenemos,

\displaystyle \int_\mathbb{R} H(x)\varphi(x)\,dx=-\int_{-\infty}^0 \varphi(x)\,dx+\int_0^\infty \varphi(x)\,dx

De aquí deducimos la expresión de H(x) que habíamos pensado al principio.

Además es independiente de la función \varphi(x). Es decir, la igualdad anterior es válida para toda función hiper-ultra-mega suave. Ésta es la llamada derivada débil.

Puede decirse que la principal diferencia entre la derivada clásica y débil es que la primera ha de ser, valga la redundancia, clásicamente diferenciable mientras que la segunda sólo tiene que ser integrable, es decir, pertenecer a la clase de funciones L^1, esto es,

\displaystyle \int |f(x)|\,dx < \infty

Por esto último, la derivada débil no está definida de manera única. Bueno, lo está, salvo en un conjunto de medida nula. Es decir, hay infinitas derivadas débiles de una función, pero el conjunto en el que son distintas es muy pequeño.

¿Y lo de fastasmas…?

Esto no es mío. Es el término que uso mi profesor de EDP’s cuando nos explico las distribuciones, y en particular, el concepto de derivada débil.

[…] es como un fastasma. Ves como mueve la cortinas de tu habitación, escuchas sus susurros, lo notas bajo tu cama…Sabes perfectamente que es él, pero no lo ves […]

…sí, bueno…decía algo así…tal vez no con esas palabras…pero parecido…

…¿y la aplicación?

En pocas palabras: el método de Elementos Finitos, usado para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.

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