Ondas viajeras

Publicado el junio 11, 2012 por josemorval

Consideremos una función unidimensional f(x) cualquiera y definamos g(x,t) como,

\displaystyle g_{\pm}(x,t) = f(x\pm vt)

Esta función es lo que se conoce como onda viajera, esto es, un perfil-molde que se traslada a lo largo del eje x, bien hacia la derecha o bien hacia la izquierda, dependiendo del signo en el argumento.

La v que aparece multiplicando a t en el argumento de la función f es la velocidad de la onda g.

En la imagen vemos la función g(x,t) = f(x-t) en los instantes t=-3,0\text{ y }3, donde el molde usado es la función

\displaystyle f(x) = \exp{\left(-\dfrac{1}{1-x^2}\right)}\sin (10 x)  para  |x|\leq 1

donde \displaystyle \exp z = e^z. En este caso la velocidad de la onda g(x,t) es v=1.

Entre todos los perfiles posibles quizás el favorito sea el de seno o coseno, es decir,

\displaystyle f(x) = A \sin(2\pi k x)  o bien  \displaystyle f(x) = A \cos(2\pi k x)

donde k es el número de ondas, invero de \lambda, la longitud de onda, y A es la amplitud.

Funciones \sin(4x) y \cos(4x).

Centrémonos en la función seno. La onda que generan este tipo de funciones son de la forma,

\displaystyle g(x,t)_{\pm} = A\sin 2\pi(k x \pm \omega t)

donde \omega = \mp vk.

Para hacernos una idea de lo que hablamos veamos dos ondas en acción, en particular, las siguientes,

\displaystyle g_1(x,t) = \sin(5x-5t)  y  \displaystyle g_2(x,t) = \sin(6x-10t)

La onda roja se corresponde con g_1 y la onda azul con g_2. Vemos lo que esperábamos

Dos senos, uno más oscilante que el otro, moviéndose hacia la derecha con velocidad constante, pero distinta en cada onda.

Ahora yo me pregunto…

Y si las sumamos, ¿que obtendremos?

Parece claro que la amplitud de la onda no será constante, pero la parte principal, la parte del seno, ¿será similar? No sé, algo de la forma,

\displaystyle g(x,t) = g_1(x,t)+g_2(x,t) = A(x,t) \sin 2\pi (kx - \omega t)

Pues sí, se tiene algo de esa forma. Para comprobarlo hagamos un par de cuentas.

Empezamos haciendo la siguiente suposición,

\displaystyle k = \frac{k_1+k_2}{2}  y  \displaystyle \omega = \frac{\omega_1+\omega_2}{2}

donde k es el número de ondas de la suma de los dos senos, y k_1 y k_2 son el número de ondas de cada uno de los senos. De manera similar para \omega, \omega_1\text{ y }\omega_2.

La suposición no parece muy descabellada, de hecho tiene una buena base, que es la siguiente siguiente igualdad,

\displaystyle \sin ax+\sin bx=2\cos\left(\frac{(a-b)x}{2}\right)\sin\left(\frac{(a+b)x}{2}\right)

Básicamente esto nos dice que al sumar dos senos obtenemos un seno, con frecuencia la media de los originales, modulado por un coseno.

Usando la igualdad anterior y las relaciones anteriores obtenemos,

\displaystyle g_1(x,t)+g_2(x,t)=2\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{5t}{2}\right)\sin\left(\frac{11x}{2}-\frac{15t}{2}\right)

A continuación vemos la onda en movimiento (la curva en naranja),

Observando el movimiento de la onda vemos algo así como paquetes de ondas. Estos son los que aparecen en la imagen,

Estos paquetes delimitan la región donde se mueve la onda,

\displaystyle -\left|2\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{5t}{2}\right)\right| \leq g(x,t) \leq \left|2\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{5t}{2}\right)\right|

Además, vemos algo más: la velocidad a la que se mueven los paquetes es mayor que la velocidad de las ondas que se mueven en su interior, como puede verse más claramente en el siguiente vídeo,

Los puntos rojo y azul en el vídeo se mueven a la velocidad que se mueven las ondas, esto es,

\displaystyle v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{15/2}{11/2} \approx 1.36

Esta es, digamos, la velocidad que lleva la parte seno de la onda. Es la llamada velocidad de fase.

Por otro lado, el punto verde se mueve con el paquete de ondas. La velocidad que tiene es la velocidad a la que se mueve la parte coseno,

\displaystyle v_g = \frac{\Delta \omega}{\Delta k} = \frac{\omega_1-\omega_2}{k_1-k_2} = \frac{5/2}{1/2} = 5

Esta se conoce como velocidad de grupo.

En algunos casos, ambas velocidades serán iguales, pero en mucho otros serán distintas. En estos, las ondas tienen asociado el adjetivo dispersivas.

Referencias básicas acerca de este tema, y mucho más, podéis encontrarlas en el libro Vibrations and Waves, de A. P. French.

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